data: 2024-02-09
corso: [[Analisi Matematica I]]
argomento: Serie Numeriche (cenni) - Sommario
tipologia: sommario
stato: "1"
capitolo: Serie (cenni)Serie Numeriche (cenni) - Sommario
Appunti sulle serie, parte del programma riservato al C.d.L. di Chimica, svolto dal prof. Daniele del Santo.
data: 2024-02-05
corso:
- "[[Analisi Matematica I]]"
- "[[Analisi Matematica II]]"
argomento: Definizione di Serie
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Serie NumericheProblema preliminare per le serie; definizione di serie; definizione di successione dei termini, di somme parziali, di parziale
Supponiamo di avere una successione
Voglio trovare un modo rigoroso per considerare la somma di tutti i termini
Infatti, procedendo in questo modo si avrebbero dei risultati che sembrano degli assurdi, tra cui la c.d. serie di Ramanujan (ulteriori approfondimenti su Wikipedia).
Vogliamo dunque trovare un altro modo per fare le somme dei termini
Sia
Per ogni
cioè
Allora definisco la coppia
come serie e la indico come
Data una serie
Definisco le seguenti:
Data una serie
posso considerare un qualsiasi numero
ovvero, scegliendo ad esempio
La serie
si dice il resto
Sia
Allora abbiamo
Sia definita la successione
Per una derivazione della nomenclatura a destra si provi per induzione che
Sia definita la successione
Allora troviamo che
Allora
Sia
Conoscendo la ridotta della serie geometrica (Esempi di Induzione > ^98ba76Esempi di Induzione > ^98ba76), sappiamo che
Allora abbiamo
Osserviamo che data una qualunque successione
Sia
Allora abbiamo la serie
Notare che non è possibile trovare una formula che calcoli la successione ridotta
Sia
come la serie armonica generalizzata.
data: 2024-02-05
corso:
- "[[Analisi Matematica I]]"
- "[[Analisi Matematica II]]"
argomento: Carattere di una Serie
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Serie NumericheCarattere di una serie: definizione di serie convergente, divergente, indeterminata; esempi; osservazioni sulle serie convergenti.
Ora vogliamo capire come si comporta la ridotta
Data la serie
questa si dice:
La "caratteristica" di essere convergente, divergente o indeterminata si dice il carattere della serie.
Notiamo che le serie convergenti hanno certe proprietà interessanti.
Consideriamo una qualsiasi serie convergente e un suo qualsiasi resto
Ho che entrambe le serie hanno lo stesso carattere.
Considerando
Infatti, guardando il membro destro dell'uguaglianza, il primo termine rappresenta la somma di tutti i termini della successione
In definitiva possiamo dire che le ridotte differiscono per una costante.
Considero una qualsiasi serie e un scalare
Troviamo che entrambe le serie hanno lo stesso carattere. In particolare, se la serie è convergente allora "scalandolo" per un qualsiasi numero rimane comunque convergente.
Adesso consideriamo due serie convergenti del tipo
Se sono entrambi convergenti, allora sicuramente sarà convergente pure la somma tra le due serie definita come
allora la serie ottenutosi a destra sarà pure convergente.
Infatti, da questa breve osservazione si evince che le serie convergenti formano un
Nota: la maggior parte degli esempi verranno tratti dalla pagina Definizione di SerieDefinizione di Serie
Prendiamo la serie
Sappiamo che la successione delle somme parziali è
Ma allora da ciò segue che
Allora la serie è divergente.
Prendiamo adesso la serie
Vediamo che
Allora anche questa serie è divergente.
Ora prendiamo la serie
Vediamo che
Ma allora in questo caso il limite
non esiste, dal momento che scegliendo opportune sotto successioni otteniamo valori diversi.
Prendiamo la serie geometrica per
Ovvero,
Allora abbiamo
Allora la serie
FIGURA 3.1. (Illustrazione geometrica della convergenza)
Ora generalizziamo l'esempio precedente per un
Ovvero,
Ora distinguiamo casi diversi.
Per
Invece per
Notiamo che "l'unica parte che si muove" è
Dunque deduciamo che
Allora la serie è divergente per
Ora vogliamo studiare il carattere della serie
Consideriamo la successione
Ma allora svolgendo un'operazione simile per
Pertanto, per il teorema del confronto (Limite di Successione > ^72d83aOsservazione 5 (i teoremi per i limiti di funzioni valgono anche per i limiti di successioni)), il limite è
Allora dato che stiamo considerando una sottosuccessione su
(N. B. dimostreremo questo risultato nelle pagine successive, considerando le successioni a termini positivi).
Pertanto la serie armonica è divergente.
Si può dimostrare che la serie
è divergente, utilizzando la nozione di integrale generalizzato in senso improprio (Funzione Integrabile in Senso Generalizzato > ^90340bDefinizione 1 (funzione integrabile in senso generalizzato)).
Infatti se introduciamo la funzione
notiamo subito che vale la relazione
Di conseguenza vale che
per il teorema del confronto (di cui vedremo dopo) (Teorema del Confronto per le Serie a Termini non negativi > ^700a42Teorema 1 (del confronto per le serie a termini non negativi)).
Questo esempio ci dà un buon spunto per intravedere una relazione tra l'integrale generalizzato e le serie (Relazione tra Serie Numeriche e Integrali GeneralizzatiRelazione tra Serie Numeriche e Integrali Generalizzati)
FIGURA 3.2. (Confronto della serie armonica con l'integrale della funzione)
Volendo, si può fornire un'altra dimostrazione per la divergenza della serie armonica, utilizzando un procedimento "per assurdo".
Supponiamo per assurdo che
Adesso osserviamo che
Prendendo il limite, si ha
che è chiaramente un assurdo.
Consideriamo la serie
Vogliamo determinare il carattere della serie
Innanzitutto osserviamo che
Allora, considerando la successione delle ridotte di
Di conseguenza il suo limite è
Allora la serie di Mengoli è "convergente con somma
Consideriamo la serie
Notiamo che questa è "approssimabile" con la serie di Mengoli; allora si deduce che
Questa domanda venne posta per la prima volta nel 1644 come il problema di Basilea (approfondimenti storici su Wikipedia) e risolta dal noto matematico L. Euler, dimostrando che la somma esatta è
FIGURA 3.3. (Foto di Pietro Mengoli e Leonhard Euler)
data: 2024-02-08
corso:
- "[[Analisi Matematica I]]"
- "[[Analisi Matematica II]]"
argomento: Serie a Termini non negativi
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Serie NumericheDefinizione di serie a termini non negativi (o positivi); proprietà fondamentale delle serie a termini non negativi (o positivi); teorema dell'aut-aut per le serie a termini non negativi.
Sia
una serie, tale che
Osserviamo che se una serie è a termini non negativi, allora
Sia
una serie a termini non negativi, allora la serie o è divergente o è convergente, come suggerirebbe il termine Kierkegaardiano "Aut-Aut" (approfondimenti sull'Aut-Aut di S. Kierkegaard].
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del ^74d49bTeorema 3 (dell'aut-aut per le serie a termini non negativi).
La dimostrazione è semplice, basta prendere l'osservazione 2 (vedere sopravedere sopra) e applicare il teorema dei limiti per le successioni monotone (Limite di Successione > ^b438edTeorema 7 (esistenza dei limiti delle successioni monotone)), per cui se una successione è monotona (in particolare
Pertanto se esiste il limite
allora la serie non può essere indeterminata, per definizione.
data: 2024-02-08
corso:
- "[[Analisi Matematica I]]"
- "[[Analisi Matematica II]]"
argomento: Teorema del Confronto per le Serie a Termini non negativi
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Serie NumericheTeoremi sulle serie a termini non negativi: teorema del confronto (+ due corollari), tecnica di valutazione delle serie con Taylor.
Siano
Supponiamo che valga
Allora:
i. Se
ii. Se
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del ^700a42Teorema 1 (del confronto per le serie a termini non negativi).
N.B. Dimostrazione omessa con Eva Sincich, dimostrazione fatta con Daniele del Santo
i. Supponiamo che
Per ipotesi so che per una qualsiasi
I membri della disuguaglianza sono esattamente
Ma allora
Dato che
Ma allora per il teorema del cfr. per i limiti di successione (Limite di Successione > ^72d83aOsservazione 5 (i teoremi per i limiti di funzioni valgono anche per i limiti di successioni)) ho il limite
Allora per definizione la serie
ii. Ora supponiamo invece che
Per definizione ho il limite finito
Però, considerando che trattiamo di serie a termini non negativi, abbiamo che la successione delle ridotte è monotona crescente; allora vale anche
Ovvero "
Ora possiamo concatenare l'ipotesi iniziale col risultato appena ottenuto:
Ma allora
che è la tesi.
Siano
Supponendo che valga
(ovvero "da un certo punto
allora:
i. Se
ii. Se
Notare attentamente che questo corollario non coincide completamente col teorema del confronto, dal momento che nel caso delle serie convergenti non vale più la tesi
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del ^ff29d9Corollario 2 (caso resto
Basta applicare il teorema del confronto ai resti
Siano
Supponendo che esista finito e strettamente positivo il limite
Allora le due serie hanno lo stesso carattere.
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del ^89b52dCorollario 4 (seconda conseguenza).
Supponiamo il limite
Allora per definizione del limite ho
Scegliamo
Il secondo passaggio è giustificato dal momento che
Allora, supponendo che
Il ragionamento è analogo per il caso in cui
Sarà utile utilizzare il ^89b52dCorollario 4 (seconda conseguenza) per valutare il carattere di certe serie, in specie se lo si usa accompagnandolo ai sviluppi di Taylor per le funzioni (Formula di Taylor > ^947c8aTeorema 2.1. (di Taylor col resto di Peano))
Supponiamo di dover studiare il carattere di una serie del tipo
Prendiamo lo sviluppo di Taylor per
con il limite
Ora supponiamo di avere i seguenti casi:
data: 2024-02-09
corso:
- "[[Analisi Matematica I]]"
- "[[Analisi Matematica II]]"
argomento: Teoremi sulle Serie a Termini non negativi
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Serie NumericheTre criteri di convergenza sulle serie a termini positivi: criterio del rapporto, della radice, della serie condensata.
Sia
A. Convergenza della serie
Se esiste
Allora la serie
B. Divergenza della serie
Se esiste
allora la serie
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del ^77712dTeorema 1 (dell'ordine di infinitesimo)
N.B. Questa è solo un'idea della dimostrazione
Questo criterio sostanzialmente discendo dal confronto delle successioni
Sia
allora la serie è convergente.
DIMOSTRAZIONE del ^dfb151Teorema 2 (criterio del rapporto)
Segue dal teorema del confronto (Teorema del Confronto per le Serie a Termini non negativi > ^700a42Teorema 1 (del confronto per le serie a termini non negativi)]) e dalla convergenza di
Infatti,
che è proprio la serie geometrica con
Sia
Allora:
Vediamo che se il limite vale
Posso infatti prendere
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del ^7d020dTeorema 3 (criterio del rapporto col limite).
Basta prendere le definizione del limite
Altrimenti si può procedere con la seguente dimostrazione.
N.B. Questa dimostrazione è stata svolta con Daniele del Santo
i. Supponiamo che valga il limite
Allora prendiamo un valore qualsiasi
Quindi per definizione del limite vale che esiste un
Allora di conseguenza deve seguire
Ma allora vale anche per
Notiamo che questo vale anche prendendo
Dunque per induzione vale che
Allora da
Ora utilizzo il teorema del confronto per le serie a termini positivi (Teorema del Confronto per le Serie a Termini non negativi > ^700a42Teorema 1 (del confronto per le serie a termini non negativi)), confrontando
Sicuramente la serie
è convergente per
ii. Supponiamo invece il limite
Allora per definizione del limite
Ovvero
Sia
allora la serie è convergente.
DIMOSTRAZIONE del ^e91303Teorema 5 (criterio della radice)
Si eleva tutto alla
data: 2024-02-09
corso:
- "[[Analisi Matematica I]]"
- "[[Analisi Matematica II]]"
argomento: Assoluta e Semplice Convergenza di una Serie
tipologia: appunti
stato: "0"
capitolo: Serie NumericheSerie a termini di segno qualunque: serie assolutamente, semplicemente convergente; teorema dell'assoluta convergenza; criterio di Leibniz per le serie di segno alternato.
Sia
La serie
Sia
Se
Ora ci chiediamo se esiste un rapporto che lega
Se una serie è assolutamente convergente, allora è convergente? Oppure vale il viceversa? Se è convergente, allora dev'essere assolutamente convergente?
Ora lo vediamo.
Sia
Se
Ovvero "se una serie è assolutamente convergente, allora è convergente".
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del ^5669ceTeorema 4 (dell'assoluta convergenza).
Supponiamo che
Allora applico il criterio di Cauchy sulla serie
Applico la disuguaglianza triangolare al membro sinistro della disuguaglianza (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto > ^5bd8b3Teorema 11 (la disuguaglianza triangolare)).
Allora ho una situazione del tipo
Ma allora ho
che è il criterio di Cauchy per la serie
Abbiamo solo dimostrare che vale l'implicazione "
Non sarebbe infatti possibile "replicare" la stessa dimostrazione al contrario, dal momento che in questo caso la disuguaglianza triangolare non vale più.
Infatti si proporrà il criterio di Leibniz come "controesempio" per sfatare l'inversa della tesi, ovvero che esistono delle serie semplicemente convergenti.
Sia
i. la successione è decrescente e a termini non negativi, ovvero
ii. il suo limite è nullo;
Allora la serie
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del ^945fc0Teorema 6 (criterio di Leibniz per le serie a termini di segno alternato).
Si tratta di dimostrare che il limite della successione delle ridotte della serie esiste finito, ovvero il limite
Osservo preliminarmente che si costruisce
data: 2024-02-08
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Esercizi sulle Serie
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Serie (cenni)Esercizi sulle serie, proposti dal prof. Daniele del Santo durante il corso "Matematica I con esercitazioni" (parte del programma riservata al CdL di Chimifca).
Studiare il carattere della serie
Studiare il carattere della serie
usando il teorema del confronto e poi studiare il carattere della serie
utilizzando ciò che avete visto prima.