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2.1 - Sommari
Serie Numeriche (cenni) - Sommario

Serie Numeriche (cenni) - Sommario

Appunti sulle serie, parte del programma riservato al C.d.L. di Chimica, svolto dal prof. Daniele del Santo.

A. LE DEFINIZIONI DI SERIE

A1. Definizione di Serie

Definizione di Serie

Problema preliminare per le serie; definizione di serie; definizione di successione dei termini, di somme parziali, di parziale -esima per una serie. Esempi notevoli di serie.

0. Osservazione preliminare

Osservazione 1 (problema preliminare).

Supponiamo di avere una successione in (o ) (Definizione 1 (successione)).
Voglio trovare un modo rigoroso per considerare la somma di tutti i termini ; si tratta tuttavia di operazioni infinite, dunque non posso effettivamente fare la somma.
Infatti, procedendo in questo modo si avrebbero dei risultati che sembrano degli assurdi, tra cui la c.d. serie di Ramanujan (ulteriori approfondimenti su Wikipedia).

Vogliamo dunque trovare un altro modo per fare le somme dei termini , senza dover ricorrere a teorie più speciali. Useremo dunque la teoria dei limiti, creando effettivamente un nesso tra la teoria dei limiti (per le successioni) con le serie.

1. Definizioni basilari

Definizione 2 (Serie).

Sia una successione a valori reali (o complessi).
Per ogni definiamo la "somma parziale"

cioè

Allora definisco la coppia

come serie e la indico come

Definizione 3 (Successione dei terimini, somme parziali, parziale -esima per una serie).

Data una serie

Definisco le seguenti:

  • si dice la successione dei termini o il termine generale della serie.
  • si dice la successione delle somme parziali o delle ridotte -esime della serie
  • si dice successione parziale o ridotta -esima della serie.
Definizione 4 (Resto -esimo della serie).

Data una serie

posso considerare un qualsiasi numero e definire la seguente sotto successione (Successione e Sottosuccessione > ^502a75).

ovvero, scegliendo ad esempio

La serie

si dice il resto -esimo della serie (altrimenti detto come la "coda di una serie")

2. Esempi notevoli di Serie

Esempio 5 (Successione costante).

Sia ; allora abbiamo

Allora abbiamo

Esempio 6 (Successione identità).

Sia definita la successione ; allora abbiamo la serie

Per una derivazione della nomenclatura a destra si provi per induzione che

Esempio 7 (Successione binaria).

Sia definita la successione , ovvero del tipo

Allora troviamo che

Allora

Esempio 8 (Serie geometrica di ragione ).

Sia (denominata come ragione) e definiamo la successione .
Conoscendo la ridotta della serie geometrica (Esempi di Induzione > ^98ba76), sappiamo che

Allora abbiamo

Osservazione 9 (Casi e ).

Osserviamo che data una qualunque successione , tratteremo in modi simili le situazioni in cui parte da o da .

Esempio 10 (Serie armonica).

Sia .
Allora abbiamo la serie

Notare che non è possibile trovare una formula che calcoli la successione ridotta -esima , dunque è necessario esprimerlo esplicitamente.

Esempio 11 (Serie armonica generalizzata).

Sia . Prendendo la serie armonica, indico la serie

come la serie armonica generalizzata.

A2. Carattere di una Serie

Carattere di una Serie
Carattere di una Serie

Carattere di una serie: definizione di serie convergente, divergente, indeterminata; esempi; osservazioni sulle serie convergenti.

0. Osservazione preliminare

Osservazione 1 (Problema preliminare).

Ora vogliamo capire come si comporta la ridotta a partire dal termine generale della serie (Definizione di Serie).

1. Definizione di serie convergente, divergente e indeterminata

Definizione 2 (Serie convergente, divergente, indeterminata).

Data la serie

questa si dice:

  • convergente se esiste finito il limite
    in tal caso si dice la somma della serie.
  • divergente se invece esiste ma non è finito il limite
  • indeterminata se non esiste il limite

La "caratteristica" di essere convergente, divergente o indeterminata si dice il carattere della serie.

2. Osservazioni sulle serie convergenti

Notiamo che le serie convergenti hanno certe proprietà interessanti.

Osservazione 3 (Le ridotte di una serie condivide il carattere della serie padre).

Consideriamo una qualsiasi serie convergente e un suo qualsiasi resto -esimo

Ho che entrambe le serie hanno lo stesso carattere.

Considerando come la ridotta di , la ridotta di ,, troviamo una relazione tra le due ridotte, ovvero

Infatti, guardando il membro destro dell'uguaglianza, il primo termine rappresenta la somma di tutti i termini della successione fino a ; invece il secondo termine "toglie" gli elementi che non appartengono al resto -esimo, ovvero i termini .
In definitiva possiamo dire che le ridotte differiscono per una costante.

Osservazione 4 (Le serie convergenti formano un spazio vettoriale su ).

Considero una qualsiasi serie e un scalare ;

Troviamo che entrambe le serie hanno lo stesso carattere. In particolare, se la serie è convergente allora "scalandolo" per un qualsiasi numero rimane comunque convergente.

Adesso consideriamo due serie convergenti del tipo

Se sono entrambi convergenti, allora sicuramente sarà convergente pure la somma tra le due serie definita come

allora la serie ottenutosi a destra sarà pure convergente.

Infatti, da questa breve osservazione si evince che le serie convergenti formano un -spazio vettoriale (Definizione 1 (spazio vettoriale sul campo K)).

3. Esempi di studio delle serie

Nota: la maggior parte degli esempi verranno tratti dalla pagina Definizione di Serie

Esempio 5 (Serie costante).

Prendiamo la serie

Sappiamo che la successione delle somme parziali è .
Ma allora da ciò segue che

Allora la serie è divergente.

Esempio 6 (Serie identità).

Prendiamo adesso la serie

Vediamo che

Allora anche questa serie è divergente.

Esempio 7 (Serie binaria).

Ora prendiamo la serie

Vediamo che

Ma allora in questo caso il limite

non esiste, dal momento che scegliendo opportune sotto successioni otteniamo valori diversi.

Esempio 8 (Serie geometrica per ).

Prendiamo la serie geometrica per .
Ovvero,

Allora abbiamo

Allora la serie è "convergente con somma .

FIGURA 3.1. (Illustrazione geometrica della convergenza)
Pasted image 20240308182840.png

Esempio 9 (Serie geometrica generalizzata).

Ora generalizziamo l'esempio precedente per un .
Ovvero,

Ora distinguiamo casi diversi.
Per , osserviamo che la serie si comporterà come la serie costante (ovvero ), dunque diventa divergente.
Invece per , abbiamo che la successione delle ridotte parziali è

Notiamo che "l'unica parte che si muove" è ; studiamo dunque solo il limite

Dunque deduciamo che

Allora la serie è divergente per , convergente per , e indeterminata per .

Esempio 10 (Serie armonica).

Ora vogliamo studiare il carattere della serie

Consideriamo la successione .

Ma allora svolgendo un'operazione simile per , possiamo minorare come

Pertanto, per il teorema del confronto (Osservazione 5 (i teoremi per i limiti di funzioni valgono anche per i limiti di successioni)), il limite è

Allora dato che stiamo considerando una sottosuccessione su , anche il limite è

(N. B. dimostreremo questo risultato nelle pagine successive, considerando le successioni a termini positivi).
Pertanto la serie armonica è divergente.

Osservazione 11 (dimostrazione alternativa della divergenza della serie armonica).

Si può dimostrare che la serie

è divergente, utilizzando la nozione di integrale generalizzato in senso improprio (Definizione 1 (funzione integrabile in senso generalizzato)).
Infatti se introduciamo la funzione

notiamo subito che vale la relazione

Di conseguenza vale che

per il teorema del confronto (di cui vedremo dopo) (Teorema 1 (del confronto per le serie a termini non negativi)).
Questo esempio ci dà un buon spunto per intravedere una relazione tra l'integrale generalizzato e le serie (Relazione tra Serie Numeriche e Integrali Generalizzati)

FIGURA 3.2. (Confronto della serie armonica con l'integrale della funzione)
Pasted image 20240308182135.png

Osservazione 12 (la dimostrazione per assurdo della divergenza della serie armonica).

Volendo, si può fornire un'altra dimostrazione per la divergenza della serie armonica, utilizzando un procedimento "per assurdo".
Supponiamo per assurdo che sia convergente con somma . Vediamo che deve necessariamente discendere che , ovvero per la definizione del limite ho

Adesso osserviamo che

Prendendo il limite, si ha

che è chiaramente un assurdo.

Esempio 13 (Serie di Mengoli).

Consideriamo la serie

Vogliamo determinare il carattere della serie (di Mengoli).
Innanzitutto osserviamo che

Allora, considerando la successione delle ridotte di abbiamo una serie telescopica:

Di conseguenza il suo limite è

Allora la serie di Mengoli è "convergente con somma ".

Esempio 14 (Problema di Basilea).

Consideriamo la serie

Notiamo che questa è "approssimabile" con la serie di Mengoli; allora si deduce che è convergente. Ma con quale somma?
Questa domanda venne posta per la prima volta nel 1644 come il problema di Basilea (approfondimenti storici su Wikipedia) e risolta dal noto matematico L. Euler, dimostrando che la somma esatta è

FIGURA 3.3. (Foto di Pietro Mengoli e Leonhard Euler)
Pasted image 20240206132632.png

A3. Serie a termini non negativi

Serie a Termini non negativi
Serie a Termini non negativi

Definizione di serie a termini non negativi (o positivi); proprietà fondamentale delle serie a termini non negativi (o positivi); teorema dell'aut-aut per le serie a termini non negativi.

0. Voci correlate

1. Definizione di serie a termini non negativi

Definizione 1 (Serie a termini non negativi o positivi).

Sia

una serie, tale che (ovvero tutti i termini della successione dei termini della serie sono positivi), allora la serie si dice a termini non negativi. Parimenti, se invece si verifica , allora la serie si dice a termini positivi.

2. Proprietà fondamentale delle serie a termini non negativi

Osservazione 2 (Proprietà fondamentale delle serie a termini non negativi).

Osserviamo che se una serie è a termini non negativi, allora è sicuramente una successione monotona crescente. Questa proprietà sarà importante in quanto ci permetterà di enunciare il c.d. teorema dell'aut-aut per le serie a termini non negativi.

Teorema 3 (dell'aut-aut per le serie a termini non negativi).

Sia

una serie a termini non negativi, allora la serie o è divergente o è convergente, come suggerirebbe il termine Kierkegaardiano "Aut-Aut" (approfondimenti sull'Aut-Aut di S. Kierkegaard].

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del Teorema 3 (dell'aut-aut per le serie a termini non negativi).
La dimostrazione è semplice, basta prendere l'osservazione 2 (vedere sopra) e applicare il teorema dei limiti per le successioni monotone (Teorema 7 (esistenza dei limiti delle successioni monotone)), per cui se una successione è monotona (in particolare ), allora il suo limite deve esistere.
Pertanto se esiste il limite

allora la serie non può essere indeterminata, per definizione.

B. I CRITERI PER LA VALUTAZIONE DELLE SERIE

B1. Teorema del confronto

Teorema del Confronto per le Serie a Termini non negativi
Teorema del Confronto per le Serie a Termini non negativi

Teoremi sulle serie a termini non negativi: teorema del confronto (+ due corollari), tecnica di valutazione delle serie con Taylor.

0. Voci correlate

1. Teorema del confronto per le serie a t. n. n.

Teorema 1 (del confronto per le serie a termini non negativi).

Siano , due serie a termini non negativi.
Supponiamo che valga (ovvero che tutti i termini di "stanno sopra" tutti quelli di )
Allora:
i. Se è divergente, allora anche è divergente.
ii. Se è convergente con somma , allora anche è convergente con somma , con .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del Teorema 1 (del confronto per le serie a termini non negativi).
N.B. Dimostrazione omessa con Eva Sincich, dimostrazione fatta con Daniele del Santo
i. Supponiamo che sia divergente. Ora consideriamo le ridotte -esime per le serie , e le denotiamo rispettivamente con , .
Per ipotesi so che per una qualsiasi ho , di conseguenza ; ; e procedendo per induzione ottengo

I membri della disuguaglianza sono esattamente .
Ma allora

Dato che è divergente, per definizione deve seguire il limite

Allora per definizione la serie è divergente.
ii. Ora supponiamo invece che sia convergente con somma .
Per definizione ho il limite finito

Però, considerando che trattiamo di serie a termini non negativi, abbiamo che la successione delle ridotte è monotona crescente; allora vale anche

Ovvero " è il maggiorante di tutti i termini di ", dunque .
Ora possiamo concatenare l'ipotesi iniziale col risultato appena ottenuto:

Ma allora è una successione strettamente crescente e limitata da ; allora per il teorema sulle successioni monotone e limitate (Corollario 8 (convergenza delle successioni monotone e limitate)), dev'essere convergente, ovvero

che è la tesi.

2. Conseguenze del teorema del cfr.

Corollario 2 (caso resto -esimo).

Siano , due serie a termini non negativi.
Supponendo che valga

(ovvero "da un certo punto sta sotto ")
allora:
i. Se è convergente, allora anche è convergente.
ii. Se è divergente, allora anche è divergente.

Osservazione 3 (pezzo mancante).

Notare attentamente che questo corollario non coincide completamente col teorema del confronto, dal momento che nel caso delle serie convergenti non vale più la tesi , dato che stiamo solo considerando il resto -esimo delle serie.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del Corollario 2 (caso resto -esimo).
Basta applicare il teorema del confronto ai resti -esimo delle serie , , ovvero , .

Corollario 4 (seconda conseguenza).

Siano , serie a termini positivi.
Supponendo che esista finito e strettamente positivo il limite

Allora le due serie hanno lo stesso carattere.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del Corollario 4 (seconda conseguenza).
Supponiamo il limite

Allora per definizione del limite ho

Scegliamo . Allora ho

Il secondo passaggio è giustificato dal momento che è sempre strettamente positivo.
Allora, supponendo che sia convergente, allora segue che è convergente, ovvero è anche convergente.
Il ragionamento è analogo per il caso in cui è divergente.

3. Tecnica di valutazione delle serie con Taylor

Osservazione 5 (L'utilità pratica del corollario del teorema del confronto).

Sarà utile utilizzare il Corollario 4 (seconda conseguenza) per valutare il carattere di certe serie, in specie se lo si usa accompagnandolo ai sviluppi di Taylor per le funzioni (Teorema 2.1. (di Taylor col resto di Peano))

Supponiamo di dover studiare il carattere di una serie del tipo

Prendiamo lo sviluppo di Taylor per con e . Ovvero la diventa una funzione del tipo

con il limite

Ora supponiamo di avere i seguenti casi:

  • Se , allora la funzione vicino a non si annulla mai; dunque per qualsiasi valori di , abbiamo la somma di un numero più grande di . Allora la serie è divergente.
  • Se e , allora sarà utile valutare in e prendere il suo limite.
    Infatti si avrebbe una situazione del tipo
    dunque la serie sarà sicuramente divergente, dato che si comporta come .
  • Se , e , ripetiamo lo stesso procedimento di prima e si avrebbe la situazione del tipo
    Infatti, se il limite fosse , allora sarebbe più piccola di , dunque convergente in ogni caso.

B2. Criteri per le serie a termini non negativi

Teoremi sulle Serie a Termini positivi
Teoremi sulle Serie a Termini positivi

Tre criteri di convergenza sulle serie a termini positivi: criterio del rapporto, della radice, della serie condensata.

0. Voci correlate

1. Criterio dell'ordine di infinitesimo

Teorema 1 (dell'ordine di infinitesimo).

Sia una serie a termini non negativi. Si ha che:
A. Convergenza della serie
Se esiste tale che esista il limite

Allora la serie è convergente.
B. Divergenza della serie
Se esiste tale che esista il limite

allora la serie è divergente.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del Teorema 1 (dell'ordine di infinitesimo)
N.B. Questa è solo un'idea della dimostrazione
Questo criterio sostanzialmente discendo dal confronto delle successioni e e si legge dunque le ipotesi come

2. Criterio del rapporto

Teorema 2 (criterio del rapporto).

Sia una serie a termini positivi. Se esiste un , tale che valga

allora la serie è convergente.

che è proprio la serie geometrica con .

Teorema 3 (criterio del rapporto col limite).

Sia una serie a termini positivi. Supponendo che esiste e valga il limite

Allora:

  • Se , allora la serie è convergente.
  • Se , allora la serie è divergente.
  • Se invece o il limite non esiste, allora non si può dire niente.
Osservazione 4 (casi inconcludenti).

Vediamo che se il limite vale allora lo studio è inconcludente, dal momento che sia serie convergenti che sia serie divergenti possono avere tale limite .
Posso infatti prendere e come esempi.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del Teorema 3 (criterio del rapporto col limite).
Basta prendere le definizione del limite e scegliere opportuni valori .
Altrimenti si può procedere con la seguente dimostrazione.
N.B. Questa dimostrazione è stata svolta con Daniele del Santo
i. Supponiamo che valga il limite .
Allora prendiamo un valore qualsiasi tale che ; ovvero " sta in mezzo tra ".
Quindi per definizione del limite vale che esiste un tale che

Allora di conseguenza deve seguire

Ma allora vale anche per

Notiamo che questo vale anche prendendo , e così via...
Dunque per induzione vale che

Allora da in poi, il termine è maggiorata dal numero ; ovvero

Ora utilizzo il teorema del confronto per le serie a termini positivi (Teorema 1 (del confronto per le serie a termini non negativi)), confrontando con .
Sicuramente la serie

è convergente per . Allora è convergente.
ii. Supponiamo invece il limite .
Allora per definizione del limite

Ovvero . Allora da un certo in poi, la successione sarà sempre crescente; dunque il resto -esimo della serie è divergente, dunque la serie è divergente.

3. Criterio della radice

Teorema 5 (criterio della radice).

Sia una serie a termini non negativi e supponiamo che esista tale che valga sempre

allora la serie è convergente.

DIMOSTRAZIONE del Teorema 5 (criterio della radice)
Si eleva tutto alla ; infatti

B3. Criterio di Leibniz per le serie a termini alternati

Assoluta e Semplice Convergenza di una Serie
Assoluta e Semplice Convergenza di una Serie

Serie a termini di segno qualunque: serie assolutamente, semplicemente convergente; teorema dell'assoluta convergenza; criterio di Leibniz per le serie di segno alternato.

0. Voci correlate

1. Definizione di assoluta e semplice convergenza

Definizione 1 (serie assolutamente convergente).

Sia una serie con termini in o .
La serie si dice assolutamente convergente se è convergente la serie .

Definizione 2 (serie semplicemente convergente).

Sia una serie con termini in o .
Se è convergente ma è divergente, allora si dice semplicemente convergente.

2. Rapporto tra le serie e le serie assolute

Osservazione 3 (preambolo).

Ora ci chiediamo se esiste un rapporto che lega con ; ovvero vogliamo trovare dei teoremi che sono in grado di garantire (o meno) il rapporto dei caratteri delle serie e .
Se una serie è assolutamente convergente, allora è convergente? Oppure vale il viceversa? Se è convergente, allora dev'essere assolutamente convergente?
Ora lo vediamo.

Teorema 4 (dell'assoluta convergenza).

Sia una serie qualunque.
Se è convergente, allora è sicuramente convergente.
Ovvero "se una serie è assolutamente convergente, allora è convergente".

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del Teorema 4 (dell'assoluta convergenza).
Supponiamo che sia assolutamente convergente, ovvero è convergente.
Allora applico il criterio di Cauchy sulla serie (Teorema 4 (Criterio di Cauchy per le serie)).

Applico la disuguaglianza triangolare al membro sinistro della disuguaglianza (Teorema 11 (la disuguaglianza triangolare)).
Allora ho una situazione del tipo

Ma allora ho

che è il criterio di Cauchy per la serie .

Osservazione 5 (non vale il viceversa).

Abbiamo solo dimostrare che vale l'implicazione "", ma non ""; ovvero non abbiamo dimostrato che le successioni convergenti sono assolutamente convergenti.
Non sarebbe infatti possibile "replicare" la stessa dimostrazione al contrario, dal momento che in questo caso la disuguaglianza triangolare non vale più.
Infatti si proporrà il criterio di Leibniz come "controesempio" per sfatare l'inversa della tesi, ovvero che esistono delle serie semplicemente convergenti.

3. Criterio di Leibniz

Teorema 6 (criterio di Leibniz per le serie a termini di segno alternato).

Sia una successione in tale che:
i. la successione è decrescente e a termini non negativi, ovvero

ii. il suo limite è nullo;

Allora la serie è convergente. Inoltre si può stimare la somma con un errore, dato come

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del Teorema 6 (criterio di Leibniz per le serie a termini di segno alternato).
Si tratta di dimostrare che il limite della successione delle ridotte della serie esiste finito, ovvero il limite .
Osservo preliminarmente che si costruisce , per ipotesi iniziali, nel seguente modo:

C. Esercizi

Esercizi sulle Serie (D. D. S.)
Esercizi sulle Serie (D. D. S.)

Esercizi sulle serie, proposti dal prof. Daniele del Santo durante il corso "Matematica I con esercitazioni" (parte del programma riservata al CdL di Chimifca).

1. Serie a termini non negativi

Esercizio 1.

Studiare il carattere della serie

Esercizio 2.

Studiare il carattere della serie

usando il teorema del confronto e poi studiare il carattere della serie

utilizzando ciò che avete visto prima.

Table Of Contents
Serie Numeriche (cenni) - Sommario
A. LE DEFINIZIONI DI SERIE
A1. Definizione di Serie
0. Osservazione preliminare
1. Definizioni basilari
2. Esempi notevoli di Serie
A2. Carattere di una Serie
0. Osservazione preliminare
1. Definizione di serie convergente, divergente e indeterminata
2. Osservazioni sulle serie convergenti
3. Esempi di studio delle serie
A3. Serie a termini non negativi
0. Voci correlate
1. Definizione di serie a termini non negativi
2. Proprietà fondamentale delle serie a termini non negativi
B. I CRITERI PER LA VALUTAZIONE DELLE SERIE
B1. Teorema del confronto
0. Voci correlate
1. Teorema del confronto per le serie a t. n. n.
2. Conseguenze del teorema del cfr.
3. Tecnica di valutazione delle serie con Taylor
B2. Criteri per le serie a termini non negativi
0. Voci correlate
1. Criterio dell'ordine di infinitesimo
2. Criterio del rapporto
3. Criterio della radice
B3. Criterio di Leibniz per le serie a termini alternati
0. Voci correlate
1. Definizione di assoluta e semplice convergenza
2. Rapporto tra le serie e le serie assolute
3. Criterio di Leibniz
C. Esercizi
1. Serie a termini non negativi